蒙特卡洛模型

1.计算圆周率pi（π）值

实验原理：在正方形内部有一个相切的圆，圆面积/正方形面积之比是(PixRxR)/(2Rx2R)= Pi/4。在这个正方形内随机产生n个点，假设点落在圆内的概率为P，那么P=圆面积/正方形面积，则P= Pi/4。如何计算点落在圆内的概率P？可以计算点与中心点的距离，判断是否落在圆的内部，若这些点均匀分布，用M表示落到圆内投点数 ， N表示总的投点数，则圆周率Pi=4P=4xM/N。

实验步骤：

（1）将圆心设在原点（0，0），以R为半径形成圆，则圆面积为PixRxR

（2）将该圆外接正方形, 坐标为（-R，-R）（R，-R）（R， R）（-R，R），则该正方形面积为R*R

（3）随即取点（X，Y），使得-R <=X<=R并且-R <=Y<=R，即点在正方形内

（4）通过公式 XxX+YxY<= RxR判断点是否在圆周内（直角三角形边长公式）。

（5）设所有点（也就是实验次数）的个数为N，落在圆内的点（满足步骤4的点）的个数为M，则P=M/N，于是Pi=4xM/N。

（6）运行结果为3.143052

def cal_pai_mc(n=1000000):
 r = 1.0
 a, b = (0.0, 0.0)
 x_neg, x_pos = a - r, a + r
 y_neg, y_pos = b - r, b + r
 m = 0
 for i in range(0, n+1):
 x = random.uniform(x_neg, x_pos)
 y = random.uniform(y_neg, y_pos)
 if x**2 + y**2 <= 1.0:
 m += 1
 return (m / float(n)) * 4

2.计算函数定积分值

实验原理：若要求函数f(x)从a到b的定积分，我们可以用一个比较容易算得面积的矩型包围在函数的积分区间上（假设其面积为Area），定积分值其实就是求曲线下方的面积。随机地向这个矩形框里面投点，统计落在函数f(x)下方的点数量占所有点数量的比例为P，那么就可以据此估算出函数f(x)从a到b的定积分为Area×P。此处我们将a和b设为0和1，函数f(x)=x2。

运行结果为0.333749

def cal_integral_mc(n = 1000000):
 x_min, x_max = 0.0, 1.0
 y_min, y_max = 0.0, 1.0
 m = 0
 for i in range(0, n+1):
 x = random.uniform(x_min, x_max)
 y = random.uniform(y_min, y_max)
 # x*x > y 表示该点位于曲线的下面。
 if x*x > y:
 m += 1
 #所求的积分值即为曲线下方的面积与正方形面积的比
 return m / float(n)

3.计算函数极值，可避免陷入局部极值

实验原理：极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果一个函数在某点的一个邻域内处处都有确定的值，函数在该点的值大于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极大值”。如果函数在该点的值小于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。此处在区间[-2,2]上随机生成一个数，求出其对应的y，找出其中最大值认为是函数在[-2,2]上的极大值。

运行结果发现极大值185.1204262706596, 极大值点为1.5144491499169481

def cal_extremum_mc(n = 1000000):
 y_max = 0.0
 x_min, x_max = -2.0, 2.0
 y = lambda x:200*np.sin(x)*np.exp(-0.05*x)#匿名函数
 for i in range(0, n+1):
 x0 = random.uniform(x_min, x_max)
 if y(x0) > y_max:
 y_max = y(x0)
 x_max = x0
 return y_max, x_max