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给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。
示例 1:
- 输入: [1,3,5,4,7]
- 输出: 2
- 解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
示例 2:
- 输入: [2,2,2,2,2]
- 输出: 5
- 解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
这道题可以说是 300.最长上升子序列 的进阶版本
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
这道题目我们要一起维护两个数组。
dp[i]：i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
count[i]：以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
- 确定递推公式
在300.最长上升子序列 中，我们给出的状态转移是：
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
即：位置i的最长递增子序列长度 等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1的最大值。
本题就没那么简单了，我们要考虑两个维度，一个是dp[i]的更新，一个是count[i]的更新。
那么如何更新count[i]呢？
以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]。
那么在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 > dp[i]，说明找到了一个更长的递增子序列。
那么以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，就是最新的以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] = count[j]。
在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 == dp[i]，说明找到了两个相同长度的递增子序列。
那么以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数 就应该加上以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] += count[j];
代码如下：
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}当然也可以这么写：
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1; // 更新dp[i]放在这里，就不用max了
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
}这里count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
题目要求最长递增序列的长度的个数，我们应该把最长长度记录下来。
代码如下：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i]; // 记录最长长度
}
}- dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i]和count[i]的定义
count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。
那么最少也就是1个，所以count[i]初始为1。
dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。
最小的长度也是1，所以dp[i]初始为1。
代码如下：
vector<int> dp(nums.size(), 1);
vector<int> count(nums.size(), 1);
其实动规的题目中，初始化很有讲究，也很考察对dp数组定义的理解。
- 确定遍历顺序
dp[i] 是由0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}最后还有再遍历一遍dp[i]，把最长递增序列长度对应的count[i]累计下来就是结果了。
代码如下：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
int result = 0; // 统计结果
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}统计结果，可能有的同学又有点看懵了，那么就再回顾一下dp[i]和count[i]的定义。
- 举例推导dp数组
输入：[1,3,5,4,7]
如果代码写出来了，怎么改都通过不了，那么把dp和count打印出来看看对不对！
以上分析完毕，C++整体代码如下：
class Solution {
public:
int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
vector<int> count(nums.size(), 1);
int maxCount = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
count[i] = count[j];
} else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
count[i] += count[j];
}
}
if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
}
}
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}
return result;
}
};- 时间复杂度O(n^2)
- 空间复杂度O(n)
还有O(nlogn)的解法，使用树状数组，今天有点忙就先不写了，感兴趣的同学可以自行学习一下，这里有我之前写的树状数组系列博客：https://blog.csdn.net/youngyangyang04/category_871105.html （十年前的陈年老文了）
