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MAC0315 - Programação Linear - 1o sem. 2012
Henrique Gemignani Passos Lima - 6879634
Julio Felipe Angelini - 6431610
EP3 - Implementação do método Simplex
Nosso EP implementa o método simplex para problemas no formato padrão:
minimisar: c'x
sujeito a: Ax = b
x >= 0
onde: A é uma matriz m por n sobre R
c, x são vetores do Rn
b é um vetor do Rm
Usamos o método do tableau com duas fases para realisá-lo.
Segue uma descrição do algoritmo:
O tableau é feito de forma que a cada iteração ele tenha esta forma:
tableau = custo_atual * -1 | custo_reduzido_em_cada_variável
---------------------------------------------------------------
. | -1
valor_das_variáveis_na_base | B * A
. |
onde B é a submatriz de A, das colunas da base.
Reduzindo ao máximo o custo_atual, chegamos a um valor ótimo no final da execução.
No entanto, precisamos de uma base inicial viável para poder rodar as iterações do simplex.
Achamos uma base inicial adicionando variáveis artificiais para forçar a existencia de
uma base viável no problema, e fazemos com que o custo delas seja garantidamente superior ao
das variáveis normais, por exemplo fazendo o custo das variáveis originais ser 0,
e o das variáveis artificiais serem 1.
Rodamos então o simplex na fase 1 com a base garantida. Seguindo os custos definidos acima,
verificamos se o custo desse PL auxiliar é de fato 0. Se o custo não for 0, então as variáveis
artificiais são necessárias para que exista uma base viável, e portanto o PL original é inviável.
Após checar que o custo do PL auxiliar é 0, retiramos forçadamente quaisquer variáveis artificiais
que possam ter continuado na base (checando aqui o possível caso de A ser LD).
A base então obtida na resolução da fase 1 não contém nenhuma variável artificial, e é viável.
Usamos esta base como base inicial viável para resolver o problema original, na fase 2 do algoritmo.
A remoção de uma variável e inserção de outra na base é feita por pivotamento do tableau.
Cada iteração destas custa O((m+1)(n+1)) flops (+1 pois também atualizamos o custo_atual * -1,
o custo_reduzido, e o valor_das_variáveis através de pivotamento).
Há algumas sutilezas quanto à execução dessa operação:
1) Apenas inserimos na base variáveis com custo_reduzido negativo, assim o custo_atual diminui.
2) Escolhemos a primeira variável possível como direção para andar
(regra lexicográfica / do menor índice).
Isto garante que nenhuma variável que já entrou na base entrará de novo,
logo é uma regra de anti-ciclagem.
3) Escolhemos o menor valor de theta para a variável que sai, assim andamos o máximo possível no
poliedro sem sair dele (mantendo a base viável).
4) de (2) e (3), se encontrarmos uma variável com custo negativo, onde todas as entradas são negativas
então podemos aumentar infinitamente esta variável, e o custo ótimo é -infinito.
Outros detalhes de implementação:
- Mantemos um vetor basis, que satisfaz a seguinte identidade:
basis(i) == nome da variável básica na (i+1)-ésima linha do tableau
(i+1 pois o tableau tem uma linha extra, que guarda os custos).
- No começo do problema, substituimos as linhas de A e de b, de forma que b >= 0.
Isto simplifica várias contas, como por exemplo o valor inicial do custo na fase 1, e
a verificação dos thetas ( basta verificar os (B^-1 * A)j ).
- Ao passar da fase 1 para a fase 2, precisamos recalcular o custo_atual e o custo_reduzido.
Não precisamos inverter a B, ou resolver um sistema linear, pois já temos B^-1 * A em mãos.
Seguem nos arquivos anexos exemplos de execuções do programa.
==============================================================================================
Exemplo 1 (ind == 1):
m = 3
n = 4
A =
1 2 3 0
2 1 -5 0
1 2 -1 1
b =
15
20
10
c =
-1
-2
-3
1
Simplex: Fase 1
Iteração 1
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-45.000 | -4.000 | -5.000 | 3.000 | -1.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
----------------------------------------------------------------------------
x5 15.000 | 1.000 | 2.000 | 3.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 |
x6 20.000 | 2.000*| 1.000 | -5.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 |
x7 10.000 | 1.000 | 2.000 | -1.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 |
Iteração 2
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-5.000 | 0.000 | -3.000 | -7.000 | -1.000 | 0.000 | 2.000 | 0.000 |
----------------------------------------------------------------------------
x5 5.000 | 0.000 | 1.500 | 5.500 | 0.000 | 1.000 | -0.500 | 0.000 |
x1 10.000 | 1.000 | 0.500 | -2.500 | 0.000 | 0.000 | 0.500 | 0.000 |
x7 0.000 | 0.000 | 1.500*| 1.500 | 1.000 | 0.000 | -0.500 | 1.000 |
Iteração 3
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-5.000 | 0.000 | 0.000 | -4.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | 2.000 |
----------------------------------------------------------------------------
x5 5.000 | 0.000 | 0.000 | 4.000 | -1.000 | 1.000 | 0.000 | -1.000 |
x1 10.000 | 1.000 | 0.000 | -3.000 | -0.333 | 0.000 | 0.667 | -0.333 |
x2 0.000 | 0.000 | 1.000 | 1.000*| 0.667 | 0.000 | -0.333 | 0.667 |
Iteração 4
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-5.000 | 0.000 | 4.000 | 0.000 | 3.667 | 0.000 | -0.333 | 4.667 |
----------------------------------------------------------------------------
x5 5.000 | 0.000 | -4.000 | 0.000 | -3.667 | 1.000 | 1.333*| -3.667 |
x1 10.000 | 1.000 | 3.000 | 0.000 | 1.667 | 0.000 | -0.333 | 1.667 |
x3 0.000 | 0.000 | 1.000 | 1.000 | 0.667 | 0.000 | -0.333 | 0.667 |
Iteração 5
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-3.750 | 0.000 | 3.000 | 0.000 | 2.750 | 0.250 | 0.000 | 3.750 |
----------------------------------------------------------------------------
x6 3.750 | 0.000 | -3.000 | 0.000 | -2.750 | 0.750 | 1.000 | -2.750 |
x1 11.250 | 1.000 | 2.000 | 0.000 | 0.750 | 0.250 | 0.000 | 0.750 |
x3 1.250 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | -0.250 | 0.250 | 0.000 | -0.250 |
ind = 1
==============================================================================================
Exemplo 2 (ind == 0):
x = 0
m = 3
n = 7
A =
2 1 1 1 -1 0 0
4 -2 5 1 0 1 0
4 -1 3 1 0 0 -1
b =
9
8
5
c =
34
5
19
9
0
0
0
Simplex: Fase 1
Iteração 1
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
-22.000 |-10.000 | 2.000 | -9.000 | -3.000 | 1.000 | -1.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x8 9.000 | 2.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | -1.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 |
x9 8.000 | 4.000 | -2.000 | 5.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 |
x10 5.000 | 4.000*| -1.000 | 3.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | -1.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 |
Iteração 2
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
-9.500 | 0.000 | -0.500 | -1.500 | -0.500 | 1.000 | -1.000 | -1.500 | 0.000 | 0.000 | 2.500 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x8 6.500 | 0.000 | 1.500*| -0.500 | 0.500 | -1.000 | 0.000 | 0.500 | 1.000 | 0.000 | -0.500 |
x9 3.000 | 0.000 | -1.000 | 2.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | -1.000 |
x1 1.250 | 1.000 | -0.250 | 0.750 | 0.250 | 0.000 | 0.000 | -0.250 | 0.000 | 0.000 | 0.250 |
Iteração 3
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
-7.333 | 0.000 | 0.000 | -1.667 | -0.333 | 0.667 | -1.000 | -1.333 | 0.333 | 0.000 | 2.333 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x2 4.333 | 0.000 | 1.000 | -0.333 | 0.333 | -0.667 | 0.000 | 0.333 | 0.667 | 0.000 | -0.333 |
x9 7.333 | 0.000 | 0.000 | 1.667 | 0.333 | -0.667 | 1.000 | 1.333 | 0.667 | 1.000 | -1.333 |
x1 2.333 | 1.000 | 0.000 | 0.667*| 0.333 | -0.167 | 0.000 | -0.167 | 0.167 | 0.000 | 0.167 |
Iteração 4
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
-1.500 | 2.500 | 0.000 | 0.000 | 0.500 | 0.250 | -1.000 | -1.750 | 0.750 | 0.000 | 2.750 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x2 5.500 | 0.500 | 1.000 | 0.000 | 0.500 | -0.750 | 0.000 | 0.250 | 0.750 | 0.000 | -0.250 |
x9 1.500 | -2.500 | 0.000 | 0.000 | -0.500 | -0.250 | 1.000*| 1.750 | 0.250 | 1.000 | -1.750 |
x3 3.500 | 1.500 | 0.000 | 1.000 | 0.500 | -0.250 | 0.000 | -0.250 | 0.250 | 0.000 | 0.250 |
Iteração 5
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
-0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x2 5.500 | 0.500 | 1.000 | 0.000 | 0.500 | -0.750 | 0.000 | 0.250 | 0.750 | 0.000 | -0.250 |
x6 1.500 | -2.500 | 0.000 | 0.000 | -0.500 | -0.250 | 1.000 | 1.750 | 0.250 | 1.000 | -1.750 |
x3 3.500 | 1.500 | 0.000 | 1.000 | 0.500 | -0.250 | 0.000 | -0.250 | 0.250 | 0.000 | 0.250 |
Simplex: Fase 2
Iteração 1
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-94.000 | 3.000 | 0.000 | 0.000 | -3.000 | 8.500 | 0.000 | 3.500 |
----------------------------------------------------------------------------
x2 5.500 | 0.500 | 1.000 | 0.000 | 0.500 | -0.750 | 0.000 | 0.250 |
x6 1.500 | -2.500 | 0.000 | 0.000 | -0.500 | -0.250 | 1.000 | 1.750 |
x3 3.500 | 1.500 | 0.000 | 1.000 | 0.500*| -0.250 | 0.000 | -0.250 |
Iteração 2
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
-73.000 | 12.000 | 0.000 | 6.000 | 0.000 | 7.000 | 0.000 | 2.000 |
----------------------------------------------------------------------------
x2 2.000 | -1.000 | 1.000 | -1.000 | 0.000 | -0.500 | 0.000 | 0.500 |
x6 5.000 | -1.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | -0.500 | 1.000 | 1.500 |
x4 7.000 | 3.000 | 0.000 | 2.000 | 1.000 | -0.500 | 0.000 | -0.500 |
Solução ótima encontrada com custo 73.000:
x =
0.00000
2.00000
0.00000
7.00000
0.00000
5.00000
0.00000
ind = 0
x =
0.00000
2.00000
0.00000
7.00000
0.00000
5.00000
0.00000
==============================================================================================
Exemplo 3 (ind == -1):
m = 2
n = 4
A =
-1 1 1 0
1 -2 0 1
b =
1
2
c =
-2
-1
0
0
Simplex: Fase 1
Iteração 1
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
-3.000 | -0.000 | 1.000 | -1.000 | -1.000 | 0.000 | 0.000 |
-------------------------------------------------------------------
x5 1.000 | -1.000 | 1.000 | 1.000*| 0.000 | 1.000 | 0.000 |
x6 2.000 | 1.000 | -2.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
Iteração 2
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
-2.000 | -1.000 | 2.000 | 0.000 | -1.000 | 1.000 | 0.000 |
-------------------------------------------------------------------
x3 1.000 | -1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 |
x6 2.000 | 1.000*| -2.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
Iteração 3
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 1.000 |
-------------------------------------------------------------------
x3 3.000 | 0.000 | -1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
x1 2.000 | 1.000 | -2.000 | 0.000 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
Simplex: Fase 2
Iteração 1
| x1 | x2 | x3 | x4 |
4.000 | 0.000 | -5.000 | 0.000 | 2.000 |
-------------------------------------------------
x3 3.000 | 0.000 | -1.000 | 1.000 | 1.000 |
x1 2.000 | 1.000 | -2.000 | 0.000 | 1.000 |
ind = -1
x = 0