VQLS-JiuZhang-PennyLane

Contest solution for 2024第三届“量旋杯”大湾区量子计算挑战营

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Contest page: https://quantum-challenge.spinq.cn/competitionDetail/profession
Team Name: 啊这是什么吃一口

⚠ Due to the contest problem case is rather simple, the implemented method is actually the VALA (arXiv:1909.03898), NOT the more complicated VQLS (arXiv:1909.05820) 😈; but we do carefully explain the differences between these methods in METHOD.md

Problem

[原题 - 出自《九章算术·方程·8》]
今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；
卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；
卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。
问：牛、羊、豕价各几何？
答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。

[线性方程组]
 2 * x + 5 * y - 13 * z = 1000
 3 * x - 9 * y +  3 * z = 0
-5 * x + 6 * y +  8 * z = -600
解：牛 x = 1200, 羊 y = 500, 豕 z = 300

赛题本质为给定的线性方程组求解，其同解方程组为：

$$ \begin{array}{ll} \begin{bmatrix} 2 & 5 & -13 \\ 3 & -9 & 3 \\ -5 & 6 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ 5 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 0 \\ -6 \\ \end{bmatrix} \end{array} $$

已知的 量子线性求解器 Quantum Linear-system Solver 算法流派有：

• HHL / QPE-based
  • 需要矩阵指数化 $ e^{iA\frac{t0}{2^k}} $
  • 受控旋转部分 $ CR $ 角度难以确定
  • 精度由qubit位数 / 线路宽度决定
• Adiabatic-based: 绝热演化
  • 需要虚时演化算子 $ e^{-iHt} $，或一阶近似后使用 BlockEncoding
  • 精度由迭代次数 / 线路深度决定
• VQLS: 变分线路 ⭐
  • 浅线路，需要变分训练
  • 精度由 ansatz 结构和参数质量决定
• qubo-based VQE (思路提供者: 铅笔芯奇)
  • 解向量中的每个元素 $ x_i $ 转为二进制形式 $ \overline{b_k \dots b_1 b_0} $ ，由一组量子比特表达 (BasisEncoding)
  • 原方程转换为 QUBO 问题，构造哈密顿量求最小值，取得最小值时即解出各 $ b_k $
    • How to solve QUBO problems using Qiskit
    • QUBO, Ising Hamiltonians and VQA
    • 可以视作一种稀疏表达版本的 VQLS
  • 优点: 若每个 $ x_i $ 表达为二进制时都是有穷串，则此方法可给出 精确解 (此时损失函数应取到最小值0)
  • 缺点: 需要先验地知道每个 $ x_i $ 的值域，以确定用多少比特表达
• Grover-based (?)

考虑到赛题对所用量子门和线路深度的限制，VQLS 方法应该是唯一正解 🤔

Quick start

• pip install pennylane
• run submit.ipynb with jupyter
  • run python run_VALA.py if you wanna reproduce the training
  • read METHOD.md for the theoretical story
• run submit_ising.ipynb with jupyter, we owe the raw idea to @铅笔芯奇
  • I must admit that VALA method is more like a simulator toy, while the ising method is more practical & promising on real-chip and the future!

Example of run_VALA.py run:

refenrence

• essay & notes
  • (2019) Variational algorithms for linear algebra: https://arxiv.org/abs/1909.03898
  • (2019) Variational Quantum Linear Solver: https://arxiv.org/abs/1909.05820v4
  • (2021) Variational Quantum Linear Solver with Dynamic Ansatz： https://arxiv.org/abs/2107.08606
  • VQLS 变分量子算法解线性方程组: https://blog.csdn.net/qq_43550173/article/details/121591659
  • Hadamard Test 以及 controlled gate 的一个细节: https://zhuanlan.zhihu.com/p/412446869
• implementaions
  • PennyLane - Variational Quantum Linear Solver: https://pennylane.ai/qml/demos/tutorial_vqls/
  • Qiskit VQLS tutorial: https://github.com/qiskit-community/qiskit-textbook/blob/main/content/ch-paper-implementations/vqls.ipynb
  • VQLS 的 MindQuantum 复现: https://www.cnblogs.com/liniganma/p/17323717.html
  • PaddlePaddle-Quantum VQLS: https://github.com/PaddlePaddle/Quantum/blob/master/applications/linear_solver/introduction_cn.ipynb
• related solution
  • Adiabatic-Linear-Solver-QPanda: https://github.com/Kahsolt/Adiabatic-Linear-Solver-QPanda

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by Armit 2024/6/13