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update 2024.4.25

2-数据结构.md

@@ -34,7 +34,62 @@ class BIT
 };
 
 ```
-
+```cpp
+template<typename T>
+struct Fenwick{
+    int n;
+    vector<T> tr;
+
+    Fenwick(int n) : n(n), tr(n + 1, 0){}
+
+    int lowbit(int x){
+        return x & -x;
+    }
+
+    void modify(int x, T c){//单点添加
+        for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
+    }
+
+    void modify(int l, int r, T c){//区间添加
+        modify(l, c);
+        if (r + 1 <= n) modify(r + 1, -c);
+    }
+
+    T query(int x){
+        T res = T();
+        for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
+        return res;
+    }
+
+    T query(int l, int r){
+        return query(r) - query(l - 1);
+    }
+
+    int find_first(T sum){//和出现的第一位置
+        int ans = 0; T val = 0;
+        for(int i = __lg(n); i >= 0; i--){
+            if ((ans | (1 << i)) <= n && val + tr[ans | (1 << i)] < sum){
+                ans |= 1 << i;
+                val += tr[ans];
+            }
+        }
+        return ans + 1;
+    }
+
+    int find_last(T sum){
+        int ans = 0; T val = 0;
+        for(int i = __lg(n); i >= 0; i--){
+            if ((ans | (1 << i)) <= n && val + tr[ans | (1 << i)] <= sum){
+                ans |= 1 << i;
+                val += tr[ans];
+            }
+        }
+        return ans;
+    }
+
+};
+using BIT = Fenwick<int>; 
+```
 
 
 ## 并查集
@@ -290,3 +345,16 @@ int query(int l, int r, int cl = 1, int cr = n, int p = 1)
 }
 ```
 
+## 单调队列
+```cpp
+int p[N];
+int head=1,tail=0;
+for(int i=1;i<=n;i++){
+	if(head<=tail&&p[head]==i-k){//当前0			区间长度大于k时扔掉头部
+		head++;
+	}
+	while(head<=tail&&a[p[tail]]<=a[i]) tail--;//此时求最大值
+	p[++tail]=i;
+	//则head记录区间内最值
+}
+```

3-动态规划.md

@@ -84,6 +84,12 @@ for (int i = 2; i <= n; i++)
     }
 }
 ```
+枚举s的二进制真子集
+```cpp
+for(int j=s;j;j=(j-1)&s){
+	//...
+}
+```
 
 ## 数位DP
 

4-数学.md

@@ -209,3 +209,89 @@ void matrix::tra(matrix a) {
 }
 ```
 
+## 高斯消元
+求解线性方程组
+
+将各系数合为矩阵，再将其变为上三角矩阵
+
+过程中通常要保证选择的主元绝对值最大以保证精度
+
+n^3
+
+```cpp
+const int N=100;
+const double eps=1e-10;
+int n;
+double a[N+1][N+1],b[N+1];
+
+void gauss(){
+	int l=1;
+	for(int i=1;i<=n;i++){//n列
+		for(int j=l;j<=n;j++){//找下面所有行中这一列处绝对值最大的
+			if(abs(a[j][i])>abs(a[l][i])){
+				for(int k=i;k<=n;k++){
+					swap(a[l][k],a[j][k]);
+				}
+				swap(b[l],b[j]);
+			}
+		}
+		if(abs(a[l][i])<eps) continue;
+		for(int j=1;j<=n;j++){//对所有其他行，更新值
+			if(j!=l&&abs(a[j][i])>eps){
+				double delta=a[j][i]/a[l][i];
+				for(int k=i;k<=n;k++){
+					a[j][k]-=a[l][k]*delta;
+				}
+				b[j]-=b[l]*delta;
+             }
+		}
+		++l;
+	}
+	
+	for(int i=l;i<=n;i++){//假如有剩下的行且b值不为0则无解
+		if(abs(b[i])>eps){
+			cout<<"无解"<<endl;return;
+		}
+	}
+	if(l<=n){
+		cout<<"无穷多解"<<endl;
+	}
+	else{
+		for(int i=1;i<=n;i++){
+			cout<<fixed<<setprecision(10)<<b[i]/a[i][i]<<endl;
+		}
+	}
+}
+```
+
+## 三分
+```cpp
+double cal(){
+	double l=0,r=1e10;
+	for(int i=1;i<=100;i++){
+		double m1=l+(r-l)/3;
+		double m2=(r-l)/3*2+l;
+		if(f(m1)<f(m2)) l=m1;
+		else r=m2;
+	}//求最大值
+	return f(l);
+}
+
+int cal(){
+	int l=0,r=1e10;
+	while(l+2<r){
+		int m1=l+(r-l)/3;
+		int m2=(r-l)/3*2+l;
+		if(f(m1)<f(m2)){
+			l=m1;
+		}
+		else{
+			r=m2;
+		}
+	}
+	int ans=f(l);
+	for(int i=l+1;i<=r;i++){
+		ans=max(ans,f(i));
+	}
+}
+```